الخوارزميات

الخوارزمية سلسلة خطوات محددة تحل مسألة. نقارن الخوارزميات بكيفية نمو زمنها وذاكرتها مع حجم المدخلات n.

ترميز O الكبير

التعقيد	الاسم	مثال
O(1)	ثابت	الوصول لعنصر بالفهرس
O(log n)	لوغاريتمي	البحث الثنائي
O(n)	خطي	المرور على قائمة
O(n log n)	—	الترتيب بالدمج
O(n²)	تربيعي	حلقتان متداخلتان
O(2ⁿ)	أسّي	تجربة كل المجموعات الجزئية

البحث الثنائي

يعمل على مصفوفة مرتبة، ويقسم نطاق البحث إلى النصف في كل خطوة:

def binary_search(items, target):
    lo, hi = 0, len(items) - 1
    while lo <= hi:
        mid = (lo + hi) // 2
        if items[mid] == target:
            return mid
        if items[mid] < target:
            lo = mid + 1
        else:
            hi = mid - 1
    return -1

الترتيب

الترتيب بالمقارنة لا يمكن أن يكون أسرع من O(n log n) في أسوأ حالة. الترتيب بالدمج يضمن ذلك، والترتيب السريع متوسطه O(n log n) وأسوأ حالاته O(n²). عملياً استخدم دالة اللغة المدمجة: sorted() في Python (خوارزمية Timsort المستقرة) أو array.sort() في JavaScript.

العودية

دالة تستدعي نفسها على مسألة أصغر، مع حالة أساس توقفها:

def factorial(n):
    return 1 if n <= 1 else n * factorial(n - 1)

البرمجة الديناميكية

عندما تتكرر المسائل الفرعية نفسها، احفظ نتائجها بدل إعادة حسابها:

from functools import cache

@cache
def fib(n):
    return n if n < 2 else fib(n - 1) + fib(n - 2)

بلا ذاكرة يكون التعقيد أسّياً، ومعها يصبح O(n).

اجتياز الرسوم البيانية

• BFS (عرضاً أولاً) بطابور: يجد أقصر مسار بعدد الحواف في رسم غير موزون.
• DFS (عمقاً أولاً) بمكدس أو بالعودية: لاكتشاف المكونات المتصلة والدورات.
• Dijkstra: أقصر مسار في رسم أوزانه غير سالبة.

نصائح

• حلّ المسألة بطريقة صحيحة وبسيطة أولاً، ثم قِس قبل أن تحسّن.
• تعقيد O(n²) مقبول لـ n صغيرة؛ المهم كيف يتصرف عند الأحجام الحقيقية لبياناتك.